✅@2023-04-21T08:50D90 AM4-2023F-2

Fourier解析を理解するための数学Eulerの公式、複素平面について再確認する。

教室間違えた～！！

もう一回説明してもらえた

ありがたい

おそらく、円周上にn個の点が等間隔で現れることと関係している？

準備

$ \forall n\in \Z\forall\theta\in\R;(\cos\theta+i\sin\theta)^n=\cos n\theta+i\sin n\theta

証明

$ P(n):\iff \forall\theta\in\R;(\cos\theta+i\sin\theta)^n=\cos n\theta+i\sin n\theta

$ P(1)\iff \cos\theta+i\sin\theta=\cos\theta+i\sin\theta\iff\top

$ \forall n\in\Z;

$ P(n)\implies (\cos\theta+i\sin\theta)^{n+1}=(\cos\theta+i\sin\theta)(\cos\theta+i\sin\theta)^n

$ =(\cos\theta+i\sin\theta)(\cos n\theta+i\sin n\theta)\quad\because P(n)

$ =\cos\theta\cos n\theta+i(\cos\theta\sin n\theta+\sin\theta\cos n\theta)-\sin\theta\sin n\theta

$ = cos(n+1)\theta+i\sin(n+1)\theta

$ \iff P(n+1)

$ \therefore\forall n\in\Z;P(n)\implies P(n+1)

$ \forall n\in\Z;

$ P(n)\implies (\cos\theta+i\sin\theta)^{n-1}=\frac{(\cos\theta+i\sin\theta)^n}{\cos\theta+i\sin\theta}

$ =\frac{(\cos n\theta+i\sin n\theta)}{\cos\theta+i\sin\theta}\quad\because P(n)

$ =\frac{(\cos\theta-i\sin\theta)(\cos n\theta+i\sin n\theta)}{(\cos\theta)^2+(\sin\theta)^2}

$ =\frac{\cos\theta\cos n\theta+i(\cos\theta\sin n\theta-\sin\theta\cos n\theta)+\sin\theta\sin n\theta}{1}

$ = \cos(n-1)\theta-i\sin(1-n)\theta

$ = \cos(n-1)\theta+i\sin(n-1)\theta

$ = \cos(n-1)\theta+i\sin(n-1)\theta

$ \iff P(n-1)

$ \therefore\forall n\in\Z;P(n)\implies P(n-1)

$ \underline{\therefore\forall n\in\Z;P(n)\quad}_\blacksquare

$ (\cos\theta+i\sin\theta)^a={e^{i\theta}}^a=e^{ia\theta}=\cos ia\theta+i\sin ia\theta

$ e^{\frac12\pi i}=i

$ e^{\frac13\pi i}=\frac12(1+i\sqrt3)

$ e^{\frac14\pi i}=\frac1{\sqrt2}(1+i)

$ e^{\frac16\pi i}=\frac12(\sqrt3+i)

$ e^{\frac34\pi i}=\frac12(-1+i)

$ e^{\frac56\pi i}=\frac12(-\sqrt3+i)

$ e^{\frac76\pi i}=-\frac12(\sqrt3+i)

このあたり、先週もやったような……

まあいいか

$ z^n=1

$ \iff\exist r,\theta\in\R;r^ne^{in\theta}=1\land z=re^{i\theta}

$ \iff \exist\theta\in\R\forall m\in\Z;e^{in\theta}=e^{2mi\pi}\land z=e^{i\theta}

$ \iff \exist\theta\in\R\forall m\in\Z;e^{i\theta}=e^{\frac{2m}ni\pi}\land z=e^{i\theta}

$ \iff z=e^{2\frac mn i\pi}\quad\text{.for }\forall m\in\Z

なんか余計な式展開が出ちゃった

重複を省いておく

$ \iff z=e^{2\frac mn i\pi}\quad\text{.for }\forall m\in[0,n\lbrack

$ w:\N^2\ni(n,m)\mapsto e^{2\frac mni\pi}\in\Complex

$ w(n,m)^{k}=w(n,mk)

$ \sum_{0\le m<n}w(n,m)=\sum_{0\le m<n}\left(e^{\frac2ni\pi}\right)^m

$ \varDelta r^k=r^{k+1}-r^k=(r-1)r^k

$ \therefore \varDelta\left(\frac{1}{r-1}r^k\right)=r^k

$ \sum_{a\le k<b}\varDelta f(k)=f(a+1)-f(a)+f(a+2)-f(a+1)+\cdots+f(b)-f(b-1)=f(b)-f(a)

これを使って解く

$ \sum_{0\le m<n}w(n,m)=\sum_{0\le m<n}\varDelta\left(\frac{1}{e^{\frac2ni\pi}-1}\left(e^{\frac2ni\pi}\right)^m\right)

$ =\frac{\left(e^{\frac2ni\pi}\right)^n-\left(e^{\frac2ni\pi}\right)^0}{e^{\frac2ni\pi}-1}

$ =\frac{e^{2i\pi}-1}{e^{\frac2ni\pi}-1}

$ =\frac{1-1}{e^{\frac2ni\pi}-1}

$ =0

$ \therefore \sum_{0\le m<n}e^{2\frac mni\pi}=0

これは前回も導出した

check

$ \left.\sum_{0\le m<n}e^{2\frac mni\pi}\right|_{n=3}=1+\frac12(-1+i\sqrt3)+\frac12(-1-i\sqrt3)=1-\frac12-\frac12=0

ここから新しいところ

名前がないと指し示せなくて不便

デジタルっぽっくなってきた

$ \sum_{0\le m<n}w(n,m)^{n-l}=\sum_{0\le m<n}e^{2\frac mn (n-l)i\pi}

$ = \frac{\left(e^{\frac2n(n-l)i\pi}\right)^n-\left(e^{\frac2n(n-l)i\pi}\right)^0}{e^{\frac2n(n-l)i\pi}-1}\llbracket n\neq l\rrbracket+\llbracket n=l\rrbracket\sum_{0\le m<n}1

$ = \frac{e^{2(n-l)i\pi}-1}{e^{\frac2n(n-l)i\pi}-1}\llbracket n\neq l\rrbracket+\llbracket n=l\rrbracket n

$ = \frac{e^{2(n-l)i\pi}-1}{e^{\frac2n(n-l)i\pi}-1}\llbracket n\neq l\rrbracket+\llbracket n=l\rrbracket n

$ =n\llbracket n=l\rrbracket

途中問題を読みミスって時間かかったけど、まあ大したことではなかった